1 行列式
概念
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
2阶行列式
由解二元方程组，定义一个新运算|a11 a12 a21 a22| =a11*a22-a12*a21 主对角线-次对角线

3阶行列式-心形画线法(3正3负)
主对角线的3个3数相乘 - 次对角线的3个3数相乘

n级排列
由1，2...n组成一个有序数组，132、123叫3级排列，中间不能缺数124，n级排列有n!种排序不一样的

逆序数-用于确定行列式展开的正负号
大数排在小数前，叫逆序，逆序的总数，叫逆序数  N(4213)=4，4后有3个小的，2后有1个小的
偶排列-逆序数为偶数(反之奇排列)
N(123)=0 n级标准排列
n(54321)的逆序数为n(n-1)/2

对换
N(123)变成N(213)叫一次对换，奇数次对换逆序数改变，偶数次不变
在n级排列中，奇排列和偶数排列各有n!/2个

n阶行列式的计算
1 n阶行列式= 行标取标准排列，列标取所有可能(即所有的不同行不同列的，这是按行展开)，取出n个元素相乘共n!项，偶排列取正，奇取负
2 上下三角行列式、对角线行列式=主对角线乘积
3 山寨的上下三角，山寨的对角线行列式=副对角线乘积，符号是(-1)^n(n-1)/2

行列式展开，不管按行排列、按列排列、还是打乱排列，它的每一项的正负符号=N(行标排列的逆序数)+N(列标排列的逆序数)，对于按行展开，N(行标排列的逆序数)=0，正负取决于N(列标排列的逆序数)

例题(-1)^(N21im +N1k32)ai1 a2k a13 am2是行列式展开的一项，求解
共4项k=4,i,m分别是3或4，代入
变换性质
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
行列式性质
1 转置值不变 DT = D(行列式转置，把每一行变成每一列)
2 两行互换，值取反
3 两行相同或成比例，或某一行全为0，=> D = 0 充分不必要
|123456789| = 0
4 某一行都乘以k，k可以提出去， D = kD2
  所有元素都有公因子k，k提出去n次，D=k^n * D2
5 行列式某一行都是2数之和，可以拆成2个(只拆1行，其他行保持不变)
6 某一行乘以一个数加到另一行，值不变(重要)

【变换】3种为0，转置、互换、提K，拆分、加倍5种变换

解题：目标是化成上三角行列式，做题时有数字1的换到第一行更容易
1 先处理第1列，再2、3列
先把a11变成1，然后用第1行去把其他行的第1列元素全都化成0

2 处理完第1列，不再碰第1列
然后用第2行元素去把其他行的第2列全都化成0

3 不要说第几行减第几行，而是乘-1加到某一行
展开定理
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
按行展开
余子式-选中某个元素，把在所在行、所在列去掉，剩下的行列式叫余子式
代数余子式-正负号+余子式叫代数余子式，正负号=(-1)^行号+列号
按行展开-a11A11+a12A12+...=D 按某一行，元素和代数余子式的乘积和等于行列式的值，意义：可以降阶，选0多的一行展开
K阶子式-任意k行k列元素组成的子级行列式

1 异乘变0定理：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积和为0

2 拉普拉斯定理：任取k行，由k行组成的所有k阶子式，与代数余子式乘积之和 =D
用k阶子式取代按行展开里的元素，如a11,其中代数余子式正负号=k阶子式所有元素的行号i和列号i的和
解题：适用于某k行k列全是0的行列式

3 行列式相乘:同阶才能乘，乘完还是同阶，用第一个D的x行，乘第二个的y列，求和放在第x行,y列位置

不同阶的相乘，行列式本质是一个数，分别算出数再乘即可
计算
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
行列式计算
1)第一行首个为0，换行或把别的加上去
2)第一行数字很大，换行为1，尽量不用分数

3)求4阶D的3阶余子式的和，M41+M42+M43+M44(D的前3行4列元素组成),解题思路：构造代数余子式
M41+M42+M43+M44=-A41+A42-A43+A44，再把D的第4行换成-1，1，-1，1,再求新的D

4)对角线为x，其他为a，解题思路：制造行和
把每一列都加到第一列，第一列全变成x+(n-1)a,再提公因子，第一列全变成1
再把第1列乘-a加到分别加到其他列上，此时所有a都消去，只剩下对角线元素除了a11=1,其它都是x-a

常用解题思路：上三角、把某行尽量多化0展开

特殊技巧
1)三叉型，加边法
对角线分别为1+a1，1+a2...1+an，其余都为1，
加边：第一行加全为1的，第1列加除了a11其余都为0，变成n+1阶行列式
三叉：用第一行乘-1加到其他行，可以消去所有1，变成了三叉型(除了a11=1,第1行全是1，第1列全是-1，对角线分别是a1,a2,a3...an)
求三叉型，依次消去第1列的-1

-加边不能改变值，很少用
-三叉型技巧是固定的，用对角线消去一条边
-有字母，不能放分母上(可能为0，上边三叉型消-1用到了1/a1，1/a2...,除非题目明确告知不为0)

2)范德蒙德
1,  1, ...1
x1,x2,...xn
x1^2,x1^2,...xn^2
...
结果 = 连乘Π(xi-xj),其中1<=j<i<=n
换成数同理
证明方法：倒数第二行乘-x1加到最后一行，可以把x1n变成0，再依次把x1n-1,x1n-2...x2变成0，然后就变成n-1阶行列式，
然后提公因子，每一列分别可以提出x2-x1,x3-x2...,提出来后，就变成n-1阶的范德蒙德行列式，用归纳假设法依次可以变成2阶
1,  1, ...1
2,  9,...-5
2^2,9^2,...(-5)^2
...

考题中不会直接给，如
1,1,1      1，1，1
1,-1,3 --》1，-1,3
1,1,9     1^2,(-1)^2,3^2
-把1换成1^2,1^3,同理-1的
-行列转置过的

3)反对称行列式
主对角线全为0，上下对应位置正负相反 aij =-aji
对称行列式：主对角线无要求，上下位置相等 aij = aji
性质：如果是反对称，奇数阶，D=0
证明方法：依次对每一行提公因子，得到的是D的转置DT,即D*(-1)^n = Dt=D,当奇数n时，-D=D

【解题总结】上三角、多化0、构造代数余子式、制造行和、加边、三叉型、范德蒙德、反对称奇
解方程
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
克莱姆法则--用行列式来解方程组的

使用条件12都要满足 1只适用于方程个数 = 未知量的个数，把所有系数拿过来得到系数行列式
                2系数行列式D不等于0
x1+2x2+x3=1         1,2,1  |1
2x1-x2+x3=6   -->   2,-1,1 |6
-x1+x2+3x3=9       -1,1,3  |9

则xi=Di/D,其中Di是用169替换对应i列的行列式，如D1=
1,2,1
6,-1,1
9,1,3
计算量大，一般不用

特殊的克莱姆--齐次方程
右边如果都为0，为齐次方程，至少有0解

齐次方程，且D不为0，则只有0解，
齐次方程，且若D为0，则存在其他解，(即齐次方程且D=0 <=> 有非0解)
2 矩阵

概念

1
2
3
4
5
一个m行n列的数表，记作Am*n
实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、0矩阵、负矩阵、n阶方阵An、单位阵E、(5)=5、同型矩阵、

矩阵相等(必须同型)，两个0矩阵不一定相等
方阵才有主副对角线

计算

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
矩阵运算
加法：对应位置相加(同型才能相加),减法同理
数乘：kAm*n，用k乘以所有元素(提公因子一次)
乘法：第一个的列数=第二个的行数，结果矩阵和第一个同行数，和第二个同列数

T1 *中间相等取两头

*不满足条件3个：
1)AB不等于BA，AB有意义，BA不一定有意义
如果相等，称AB可交换，  左乘和右乘
2)AB=0推不出某个为0
3)AB=AC推不出B=C

1)与0相乘 A43 * O32 = O42
2)与E相乘 AE=A，EB=B

只要左右顺序不变
1)结合ABC = A(BC)
2)分配(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB
3)kAB =AkB

例题
求可交换的矩阵，假设代入计算(AB可交换，则都是方阵)
方程转成矩阵来运算

幂运算A必须为方阵
A^k = AAAA, A^0 = E
1)A^k1A^k2 = A^(k1+k2)
2)(A^k1)^k2 = A^(k1k2)
(AB)^k不等于A^kB^k

(A+B)^2展开一般不成立，(A+E)^2展开成立

例题
(AB)^10 = ABAB,其中BA=6，不会直接算很费劲

转置公式

1
2
3
4
5
矩阵转置
*1)(AT)T=A
2)(A+B)T = AT +BT
3)(kA)T = kAT
*4)(AB)T = BTAT

特殊矩阵

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
特殊矩阵-都是方阵
1)数量矩阵：主对角线全为a,其他都是0，=aE
aEB =BaE =aB
AE=EA=A,这里2个E不一样，阶数可能不同
2)对角型:主对角线为a1...an,其他都是0，diag(a1,a2...an)
diag(k1,k2,k3)*矩阵=k1k2k3分别乘每一行
矩阵*diag(k1,k2,k3)=k1k2k3分别乘每一列
3)上下三角

4)对称/反对称
*对称一定用到AT=A，
2个对称的和差数乘还是对称，积不再对称(AB)T=BTAT =BA不等于AB
A、B对称时，AB对称<=>AB可交换
反对称主对角线全为0，对称没要求，AT=-A
2个反对称的和差数乘还是反对称，积不再反对称

逆矩阵+伴随矩阵

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
逆矩阵(矩阵除法)
不能把矩阵放在分母

方阵的行列式，记作|A|，性质：
1)|AT|=|A|
*2)|kA|=K^n|A|
3)|AB|=|A||B|


伴随矩阵
只有方阵才有伴随矩阵
求出所有元素的代数余子式，按行求的按列放，构成的矩阵，记作A*
对任意方阵 AA*=A*A=|A|E 万能公式永远成立
(证明，AA*得到的是对角线都为|A|的数量矩阵)
|AA*|=|A|^n,=> |A*|=|A|^(n-1),|A|是否为0都成立
只有一个数的矩阵，他的A*=(1)=1

逆矩阵前提必须是方阵
AB=BA=E，记作A-1=B
性质
1) 未必所有方阵都可逆
2) 若可逆，逆矩阵唯一 
(证明：假设AB1=B1A=E,AB1=B1A=E,代入B
1=B1E=EB2=B2)

T2 根据以上转置矩阵、特殊矩阵、伴随矩阵、逆矩阵证明和求解

2个问题：T3 如何判断可逆，T4 怎么求A-1
|A| ≠ 0,则A叫非奇异、非退化、满秩矩阵，它是可逆的
3) 定理：A可逆的充要条件是|A|≠0,且此时A-1 =A*/|A|
(由万能公式推出)
推论：若AB=E或BA=E则A可逆，A-1 = B(这个只需验证一个，很常用)

求逆矩阵2种方法
1)伴随矩阵法(即上边定理，计算量比较大)
2)初等变换法(考试中一般用这个)

例题
1) A+B=AB.证明A-E可逆，套路是凑出(A-E)()=E或()(A-E)=E
2) T5 必考点-矩阵方程
AX=A+2X，A=(),求X
=> AX-2X = A =>X(A-2)=A => X=A(A-2E)-1
错误，1矩阵只能和矩阵加减，2提公因子要注意方向，3矩阵永远不能放分母，不要除以(A-2E)，4要同时左乘逆，5同乘前要证明可逆,6不要用待定法，7不要用伴随矩阵法求逆矩阵
应该是=> (A-2E)X=A =>先判可逆 X = (A-2E)-1A

性质
4) A可逆，则A-1可逆，且(A-1)-1=A    ~ATT =A
5) A,B可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1  ~(ABT)=BTAT
6)若A可逆，则AT也可逆， (AT)-1= (A-1)T,即可交换运算
推论，k≠0 ,(kA)-1 = 1/k *A-1，即提系数
7)A可逆，则|A-1| = |A|-1即1/|A|
8)A可逆，则A*可逆,且(A*)-1 = A/|A|

A*性质
1) 按行求，按列放 
2) AA*=A*A=|A|E 
3) |A*|=|A|^(n-1)
4) A-1 = A*/|A|,即A* = A-1/|A| 可以用来求A*
5) (A*)* = |A|^(n-2)A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分块矩阵
分法：
按行分、按列分也是行列向量
标准型：对角线(左上角全是1，右下角全是0)，不一定是方阵
运算：
分块加法，数乘、分块乘法(条件是分块可乘)

例题
AB = A(B1,B2...) = (AB1,AB2..)按分块乘法理解，不要当数乘
2个对角线分块矩阵，同理上下三角，加乘完还是上下三角
(A1，A2...)(B1,B2...)=(A1B1,A2B2...)

求转置:2步，先把子块看作元素求转置，再对每个子块求转置

H = (ABOC),A、B分别为m、n阶可逆，证H可逆，求H-1
|H|=|A||B|≠0
待定法H-1 = (x1,x2,x3,x4),代入HH-1=E，求出
H-1 = (A-1,B-1,O,-A-1CB-1)

求逆：推论：只有对角线的(A,B...)-1 = (A-1,B-1...)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
初等变换
行或列:交换2行，非0的k乘某行，某行的m倍加到另一行
用箭头表示变化

定理1：任何矩阵通过初等变换都可以化为标准型
等价：A经初等变换得到B，记A≌B，有反射性、对称性、传递性，任何矩阵都等价标准型

初等方阵：对E做一次初等变换得到的矩阵，三种E(i,j),E(i(k)),E(i,j(k))，
行列式值分别为-1，k，1，
初等方阵均可逆，分别为E(i,j)、E(i(1/k))、E(i,j(-k))
它们的逆矩阵也是初等方阵
它们的转置矩阵也是初等方阵

用初等方阵左乘A，相当于对A实施同等初等行变换
用初等方阵右乘A，相当于对A实施同等初等列变换

用处在于，可以把初等变换描述为E变换，不必用->而可以用=了

定理3：任意矩阵通过乘多个E变换都可以化为标准型
推论:A、B等价 <=> 存在可逆P、Q,使PAQ=B

定理4：A可逆 <=> A的标准型为 E
定理5：A可逆 <=> A = P1P2...一些初等矩阵的积

初等矩阵法求逆矩阵
P1P2A=E 且 P1P2E=A-1
思路：(A，E)只做初等行变换，当A变成E时，E变成的就是A-1

做题注意
1)先处理第一列，再依次二三列
2)写整行，对整行做变换
3)第一列处理完，不再主动参与
4)用箭头连接，只做初等行变换
5)如果左边化不成E，说明不可逆
初等变换，他的行列式的值只会变号或乘k倍，是否为0是不变的
草稿纸上验证正确性，AA-1=E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
矩阵的秩
k阶子式：任取k行k列的行列式
矩阵的秩：非0子式的最高阶数，记作r(A)=3
0矩阵的r为0
Amn， 0≤r≤min{m,n},r=m,称行满秩，r=n称列满秩，统称满秩，否则为将秩
A方阵，r(A)=n <=>A可逆 <=> |A|≠0

求秩
定理1：r(A)=r <=> 有一个r阶子式不为0，所有r+1阶都为0

***阶梯型矩阵
若有0行，0行在非0行下边
左起，首非0元的，左边0个数，随行数严格增加
横线可跨多个数，竖线只一个数

行简化阶梯型，是阶梯型
首非0元是1，首非0元所在列的其它元素为0
画折线、圈出首非0元、首非0元画竖线只有1个1，其余为0

矩阵的秩等于非0行的行数
初等变换不改变矩阵的秩(行列)

初等行变换化为标准型，秩等于1的个数
初等行变换化为阶梯型，秩等于非0行数
很多解的代回去，一般能消掉1个

性质
1) r(A)= r(AT)
2) 任意矩阵乘可逆矩阵，秩不变
3) Amn,Pm为m阶可逆方阵，Qn为n阶可逆方阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
3 向量
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
n个数的有序数组，叫向量，记作α，分量、维数，
可写作行向量或列向量，本质都一样，分量都是0的为O向量
分量都一样的向量相等，前提是同维，同维才能相加减

kα=0 <=> k=0或α=O

线性关系
β，α1，α2...都是n维向量，若存在一组系数k，使β可以用α表示，则为β的线性组合
性质
1) O可以用任何向量组表示
2) 向量组中任一向量可由向量组表示
3) 任一向量可以由单位向量表示,即(100)(010)(001)

例题，一个向量能不能由向量组表示
不管给的是行列向量，都按列做方程组系数

向量组等价:同维，可以相互线性表示记{a1,a2...}≌{b1,b2...}
有反射性、对称性、传递性

核心：线性相关和线性无关
线性相关:α1，α2...是n个m维向量，若存在一组不全为0的k，使和为O
k1a1+k2a2+...=O,
线性无关：不是相关的，找不到一组不全为0的k，要想成立k必全为0

结论：
1) 向量组中2个成比例，必线性相关，(这两个抵消，其他全取0)
2) 含O向量的必线性相关
3) 一个O向量必线性相关，任一个非0向量必无关，一个α相关 <=> α=O

部分组相关，则向量组的整体组也相关(即子集相关，则该组也相关)
逆否：整体不相关，则部分组也不相关

例题，若3个向量不相关，原来的分量不变，后边再加几个分量，证明新的3向量也不相关
结论：线性无关向量组的接长向量组也线性无关
逆否：线性相关向量组的截短向量组也线性相关

n个n维向量构成的行列式，D≠0 <=> 线性无关, D=0<=> 线性相关

是否线性组合， =>方程有无解(非齐次的)
是否线性相关， =>方程有无非0解
证明是否相关，都是设k代入，求解方程组

定理：
1) a1,a2..相关 <=> 至少一个向量可由其余向量表示，(系数可以全为0,即线性组合)
2) a1,a2..无关，但加上b后相关，则b可由a1,a2唯一表示(证明唯一一般假设不唯一)

替换定理(只要考证明题一定用到)
a1,a2..as无关，可由b1,b2..bt表示，则s≤t
逆否：a1,a2..as，可由b1,b2..bt表示，若s>t,则必相关
考试常用定理：m>n，则m个n维向量相关
推论：2个等价的无关向量组，他们的向量个数相同(由互相表示得s≤t且s≥t推出)注意必须是无关的
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
向量的秩
极大向量无关组：每个向量都可以由极大无关组，且无关的个数是最多的
定理：向量部分组a1,a2...ar无关，但r+1个却相关，则为极大无关组

一般某个向量组的极大无关组不唯一，但所含向量个数相同
全为O的没有极大无关组
无关组的极大无关组是他本身
极大无关组和向量组等价

秩：极大无关组的向量个数
全是O的秩为0
m个n维向量的向量组，秩最大为s = min{m,n}
无关 <=> r=s，相关 <=>r<s
定理：A向量组可由B向量组表示，则r(A)≤r(B),若等价，则秩相等(反过来不成立)

行秩、列秩
定理：行秩=列秩=矩阵的秩
考试常用定理：r(AB) ≤ min{r(A),r(B)}

求秩
1) 化阶梯型求矩阵秩
2) 证是否相关，求秩<向量个数
3) 求极大无关组
只做初等行变换，则2个矩阵的列向量组具有相同的线性关系(即不改变列的线性关系，即向量间的相互关系)
 4步：不管行列都按列构成矩阵，只做初等行化为行简化阶梯型，首非0元所在列做极大无关组a1、a2，其余列的向量可以用无关组直接写出来a3=ka1+ka2
 常见错误：只化到阶梯型
4 线性方程组
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
方程解的判定
系数矩阵、增广系数矩阵/A、方程也可以用向量表示x1a1+x2a2=b

唯一解：r(A) = r(/A) = 未知量的个数n
无穷多解：r(A) = r(/A) < n,行简化阶梯有一行全为0，必有0解

无解：r(A) ≠ r(/A) ,有一行为0000k

m为方程个数，n为未知量个数

求解步骤：
1) 写出/A
2) 只初等行，化为阶梯型(如果还有求值，就化成行简化阶梯型)
3) 看r(A) = r(/A)，虚线左右边非0行数是否相等
相等且=n有唯一解
相等且<n无穷解
不相等，无解
4) 化行简化阶梯，不管0行，非0行的首非0元(1)放左边，其他的移到右边
1025
0112
0000
x1 = 5-2x3
x2 = 2-x3 ，写上一句话，x3为自由未知量，有的时候，2个自由可能会有条件限制，还要继续计算
这个是一般解，x3取任意数都成立

考题，一般都有解(画折线，在虚线处如果折一下就无解)
一般是带参数λ的，化阶梯型时，参数可能为0不能放分母
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
齐次线性方程组
增广部分都为0，一定有解，至少有0解
1) r(A)=n, <=> 有唯一0解  (r(A)肯定等于r(/A))
2) r(A)<n, <=> 有非0解  
3) 如果m<n,必有非0解  (因为r(A)<min{m,n}<n)
4) m=n时，有非0解 <=> |A|=0 (因为必定降秩) <=> A不可逆
		  只有0解 <=> |A|≠0 <=> A可逆

齐次方程行变换右侧永远是0，省去不写，拿A做变换

解的结构
对于齐次Ax=0
如果η1和η2是解，则η1+η2也是解
如果η是解，则cη也是解

基础解系：
η1,η2...都是解，1线性无关 2任何解都可以表示
就是解的极大无关组

求基础解系
x1=ax3+bx4+cx5
x2=dx3+ex4+fx5
令(x3,x4,x5)分别取(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)代入得x1,x2,得到的
η1=(x1,x2,1,0,0) η2=(x1,x2,0,1,0)  η3=(x1,x2,0,0,1)
则c1η1+c2η2+c3η3是通解，c1、c2、c3是任意常数

η1、η2、η3是基础解系、线性无关、任何解都可以用它们表示
代入可知(x1,x2,x3,x4,x5) = x3η1+x4η2+x5η3
只要取的3个向量线性无关解出来都是基础解系
左边未知量有r(A)个，右边未知量有n-r(A)个，所有解用n-r(A)个表示
只要不在左边都是自由未知量，即使右边没有
当分母都一样时，也可以取(4,0,0)(0,4,0)(0,0,4)

*这个可直接用来证明
Amn、Bns 若Amn*Bns=O，r(A)+r(B)≤n
(证明：把B拆成s个行向量AB = A(一堆向量)=O，的Aβi=O,βi是Ax=0的解
r(A) = n时唯一0解，B=O
r(A) <n时无穷解，左边未知量最多r(A)个，右边为n-r(A)个，r(B) ≤ n-r(A) ??)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
非齐次方程组
Ax=b ——>Ax=0导出组
a1，a2是Ax=b的解，则a1-a2是Ax=0的解
a是Ax=b的解，η是Ax=0的解，则a+η是Ax=b的解

α是Ax=b的特解，η是Ax=0的通解，η=c1η1+c2η2...Ax=0基础解系，则
α+c1η1+c2η2...是Ax=b的通解

求特解取/A做行变换，化为行简化阶梯型
x1+ax3+bx4=k1
x2+dx3+ex4=k2
求通解取A做行变换，化为行简化阶梯型
x1+ax3+bx4=0
x2+dx3+ex4=0
两种只相差右侧常数项，可以不写A的变换，直接写：导出组的同解方程组为...

 步骤：
 1) 写出/A，只做行变换，化为行简化阶梯型
 2) 非0行首非0元留在左边，其余挪到给右边
 写出同解方程组，指出谁是自由未知量
 3) 令自由未知量均取0，求出一个特解(虽然可以取任意，但考试只看0的答案)
 4) 写一句话，导出组的同解方程组为(上边方程组右侧常数均为0)，指出谁是自由未知量，令依次取单位向量，得基础解系
 5) α+c1η1+c2η2...是Ax=b的通解(容易错的只有化阶梯型)
 
 例题
 四元非齐次，r(A)=3,a1,a2,a3是3个解，a1=(2345)T,a2+a3=(1234)T
 右边未知量为n-r(A)=1个
 a1是Ax=b特解，a1-a2,a1-a3都是Ax=0的通解,得(3456)T是Ax=0通解
5 特征值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
A是n阶方阵，若对于数λ，存在非0列向量α，使Aα = λα，则λ是特征值，α是对于λ的特征向量
A只有方阵才能求，λ可以为0，α不能为O，必须是列向量，必须说是对于λ的

(λE-A)α=O有非0解，则|λE-A|=0充要条件
λE-A特征矩阵，|λE-A|特征多项式，|λE-A|=0特征方程，解出来是特征值λ

结论：
1) λ是特征值，α是对于λ的特征向量，则cα也是特征向量
λ对应多个α，而α只有1个λ
2) λ是特征值，α1、α2是对于λ的特征向量，则c1α1+c2α2也是特征向量

T1 求特征值
|λE-A|=0，是一个带参数λ的行列式
1) 完全展开，一般是高阶的，不容易解，不建议用
2) 某一行尽量多化0再展开,(可以把λ的一次式提出去)
3) 某一行可以提公因子(公因子含λ)
4) 相反数、相同数、行和相同
5) (λ-1)(λ-1)(λ-2)=0,必须写成λ1=λ2=1，λ3=2
求特征向量
再代入(λE-A)x=O,解齐次方程，求出基础解系cα,其中c≠0(因为要求非0解)
只写λE-A=(矩阵)就行，不要写那个方程没什么用
这个矩阵在上边写过，只要换掉λ就行
当结果是c1α1+c2α2时，写上c1和c2不同时为0即可

λE-A当A是全为1的矩阵时，得到的1只有对角线全是λ-1是带λ的 2其余的是-1
也可以用A-λE解更简单，|λE-A| = (-1)^n|A-λE| =0,但是解特征向量也要对应用(A-λE)x=0,考研最好按课本λE-A

上下三角矩阵的特征值就是对角线的值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
性质
*1) A 和 AT 有相同的特征值(但特征向量不一定相同)
2) 当满足2条件 ∑(aij)<1,i=1,2...和∑(aij)<1,j=1,2...时，|λ|<1
即每一行的和,每一列的和 <1时,这个性质基本不怎么用
*3)必考 A有n个特征值，则
所有特征值，的和=对角线的和，的积=|A|

证明：(x-a)(x-b)(x-c) = x3 + (a+b+c)x2 +....+abc
多项式展开后n次、n-1次和常数项是可以确定的
λE-A=观察行列式 = n-1次是对角线元素的和
λE-A=多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)=n-1次是特征值的和
令λ=0，上边是|A|,下边是积

A可逆 <=> 所有特征根都不为0
可逆的充要条件 |A|不为0，r=n，行秩=n，行向量线性无关，Ax=0只有0解

4) 互不相同的特征值对应的特征向量线性无关

证明：m=1时，α1线性无关
假设n-1项都无关，要证n项无关即k1α1+...knαn=0只有k全为0时才成立
给式子左右同左乘A，用Aα=λα替换，得k1λ1α1+...knλnαn=0
给式子左右同乘λn,得k1λnα1+...+knλnαn=0,相减，得
k1(λ1-λn)α1+k2(λ2-λn)α2+...=0,一直到n-1项，
由于假设n-1项都无关，因此只能k1=k2=...kn-1=0,
再代回去，得knαn=0，因此kn=0

5) 互不相同的特征值对应的多个无关的特征向量线性无关

6) k重特征值对应的线性无关的特征向量的个数 ≤ k
   n阶方阵的线性无关的特征向量最多有n个
   
*其它性质
1) kλ是kA的特征值
2) λ^k是A^k的特征值
3) A的多项式的特征值是λ的多项式，E换成1，如A3+2A2+5E=>λ3+2λ2+5
4) 1/λ 是A-1的特征值
5)|A|/λ 是A*的特征值

T2 例题:根据性质求特征值
1) A4阶方，|3E+A|=0.AAT=2E.|A|<0,求A*的特征值(分别求λ和|A|)
2) A=(已知含ab)3阶方，λ1=2,λ2=3,求λ3,(把2，3代入|λE-A|=0，求出a，b，再利用和为对角线或积为|A|求λ3)
3) tr(A)称为矩阵的迹，是对角线之和
4) 求(A*)*的特征值，由于|A|/λ是A*的，把A换成A*,把λ换成|A|/λ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
相似矩阵
AB是同阶n方阵，如果可以找到n阶可逆矩阵P，如果P-1AP=B则相似A∽B
反身性、对称性、传递性

性质
1) 若A∽B，则A和B有相同的特征值，且行列式和迹都相等
2) 若A∽B，则A可逆 <=> B可逆(AB同时可逆或同时不可逆)
且可逆时，A-1∽B-1
3) 若A∽B，则A^m∽B^m
B^m ≠ (P-1AP)^m,而应该是P-1APP-1AP...=P-1A^mP
4) 若A∽B，秩相同(行列式乘可逆矩阵，秩不变)

考试时先后用：迹、行列式、均可逆、A-1∽B-1、A^m∽B^m、r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
对角化
1) A和对角形Λ相似的充要条件，A有n个线性无关的特征向量
证明：P-1AP=Λ  => AP=PΛ =>对角型即对角线为λ1->λn,其他为0，
令P=(α1,α2...)
得 (Aα1,Aα2...)=(λ1α1,λ2α2...),
得 αi≠O且Aαi = λiαi，这里说明αi是A的特征向量
P可逆，r=A,
得 列向量的r也是n，αi都线性无关，这里说明有n个，并且都无关

2) A有n个互异的特征值，则它一定相似于对角型(充要条件)
理解：n个都是单根时，找到的n个特征向量肯定线性无关，用1)知相似
当有重根时，比如3重，找线性无关的特征向量，可能1个，2个或3个，当3个时才能凑够n个

考题 给一个A，是否相似？P是？对角型？
解 1求特征值|λE-A|=0
2求特征向量，解题时这样写
当λ1=1时，对于|λ1E-A|=0，矩阵为(),写行简化型，
写出同解方程组x1=x3+x2,谁是自由未知量，令等于，求出特征向量
当求出有n个特征向量(或者说m重根的有m个特征向量)那么就相似
3写P和相似对角形，P=(α1，α2，α3)，顺序可以随意，但对角形要和他顺序一致(对角线依次为λ1,λ2,λ3)

3)A相似于对角形的充要条件，每一个ri重根的基础解系有ri个解
(求基础解系的矩阵是齐次的，他的解个数ri = n-秩数，即秩数=n-几重根,这个一般没什么用，可能选择题去看秩判断一下等不等于几重根)

例题
1) 3阶A，已知λ1，λ2，λ3，α1，α2，α3，求A，求AT的特征向量
解P=(α1，α2，α3)，对角形也可知，由P-1AP=Λ，可求A
(P-1AP)T=Λ的转置不变，得(PT)A(P-1)T=Λ，求出(P-1)T就是AT的特征向量的组合

2) 求A^100 = (PΛP-1)^100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
实对称矩阵的对角化
n个无关向量能对角化，即P-1AP=Λ，实际上是实对称矩阵都可以对角化(即相似于Λ)
向量内积 (α,β) = a1b1 + a2b2 +...是数 = αTβ = αβT

性质
1)(α,α)≥0
2)(α,β)=(β,α)
3)(kα,β)=k(α,β) (kα,kβ)=k^2(α,β) 
4)(α+β,λ)=(α,λ) + (β,λ)
(k1a1+k2a2,k3a3+k4a4)=

长度(范数、模) ||α|| = √(α,α)  ，(α,α) = ||α||^2
||α||是单位向量，如果不是1，可以单位化= α/||α||

性质
1) ||α||≥0
2) ||kα|| = |k|*||α||
3) |(α,β)| ≤ ||α|| *||β||  克瓦斯不等式
类似于|a1b1+a2b2| ≤ √(a1^2+a2^2) * √(b1^2+b2^2)
4) ||α+β|| ≤ ||α|| +||β||  三角不等式

正交(即垂直) (α,β)=O，记作α⊥β
O和任意向量都正交
正交向量组：不含O的n个向量，两两正交
标准正交向量组：长度都为1，具有性质(ai,ai)=1,(ai,aj)=0

定理：正交向量组是线性无关的
证明:假设k1a1+k2a2+...=O，两边都和a1做内积
k1(a1,a1)+k2(a1,a2)+...=0，最好证k1=0,再和a2做内积得k2=0

施密特正交化
给一组无关向量，求与之等价的正交的向量
β1=α1
β2=α2-(α2,β1)/(β1,β1)*β1
β3=α3-(α3,β1)/(β1,β1)*β1 - (α3,β2)/(β2,β2)*β2
每一个再除以其长度，就是单位化β2/||β2||

正交矩阵
A是n阶方阵，ATA=E
性质
1) A正交，则|A|=1或-1
2) A正交，则A-1 = AT,且它们都是正交
3) A、B正交，则AB也正交
4) A正交，α,β为列向量，则(Aα,Aβ)=(α,β)

定理：A正交 <=> A的列向量组是标准正交向量组

例题
三阶非O的A，aij=Aij,求证|A|=1且A正交
当出现aij=Aij时用伴随矩阵
aij=Aij可知 A* = AT
ATA = A*A=|A|E 两边同取行列式
|A|^2 = |A|^3,得|A|=0或1
由于三阶非O，则必有1项 aij>0, 按该aij所在行展开，|A|=aij*Aij+...>0
当|A|=1时，上边ATA =|A|E = E 因此正交

实对称矩阵的对角化
定理：实对称矩阵的n个不同特征值对应的特征向量是正交的
证明：实对称矩阵AT=A，特征向量Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,去证(α1,α2)=0
(Aα1,α2)= (λ1α1,α2) = λ1(α1,α2)
(Aα1,α2)= (Aα1)T*α2 = α1T *(Aα2) = λ2(α1,α2),上下两式相等
AT=A=A-1

正交相似
1) A、B同阶方阵，若存在正交P，使P-1AP=B称为正交相似
2) A是实对称,一定存在正交Q使 Q-1AQ = Λ

两种题型
矩阵对角化：若有n个无关特征向量，则可以对角化求Λ，否则不能对角化
实对称对角化：必定能对角化，求Q和Λ

求解步骤:1求特征值、2求特征向量、3特征向量正交化、单位化、
4做成列构成Q 5写出Λ，λ要与Q的位置对应
(当都是单根，实对称本身是正交的，特征向量肯定都是正交的，不必正交化
当存在重根，λ1时α1，λ2时α2，α3，这时正交化β1=α1，β2=α2，
β3=α3-(α3,β2)/(β2,β2) *β2 只需要对α2，α3正交化
当3重根时，必须对α1，α2，α3全都正交化 )
6 二次型
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
平方项、交叉项，必须都是2次
1)二次型写成矩阵
平方项系数直接做主对角线元素
交叉项的系数除以2，放在2个对称的相应位置
则 = (x1,x2,x3)(矩阵A)(列x1,x2,x3) 即XTAX

A叫二次型的矩阵，A的秩叫二次型的秩，A是对称矩阵 AT=A

2)二次型的矩阵写出二次型(是对称的，必须说是二次型的)

只有平方项的叫标准型，系数可以随意

标准化
f(x)=XTAX,这里A不是标准型，令X=CY线性替换
f(x)=YTCTACY,其中要让B=CTAC是标准型，因此要求出C和B

|C|不为0为可逆替换，为0是退化替换
有的需要2次替换X=C1C2Z

定理：替换后的新二次型矩阵是对称的，即CTACB=
合同:A、B是n阶方阵，可逆C使得CTAC=B，则A、B合同，记作A≃B
反身性、对称性、传递性

性质
1) AB合同，则秩相同(第三章最后一个结论：矩阵左乘或右乘可逆矩阵，秩不变)
2) AB合同，则A对称 <=> B对称
3) AB合同，且均可逆，则A-1≃B-1
4) AB合同，则AT≃BT

矩阵关系:
等价：AB同型，存在可逆P、Q，使PAQ=B
相似：AB同阶方阵，存在可逆P，使P-1AP = B
正交相似：AB同阶方阵，存在正交P，使P-1AP=B，其中P-1=PT，因此PTAP=B
合同：AB同阶方阵，存在可逆P，使PTAP=B
总结(正交相似也满足相似和合同，而下边三种也都满足等价)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
化二次型为标准型
1配方法2初等变换3正交替换(就是正交化，但计算量大)

配方法
1) 先x1,再x2,再x3 
2) 配完x1,后边不能再出现x1
x1^2+2x1x2 = (x1+x2)^2-x2^2
3) 注意y1=x1+x2不是线性替换，这是Y=CX,而不是X=CY
要解出x1=y1+y2之类的

有的题只有交叉项2x1x2-4x1x3+x2x3,令x1=y1-y2,x2=y1+y2,x3=y3,然后会出现平方项，求出y等于z的关系
如果4个变量，固定技巧是x1=y1-y2,x2=y1+y2,x3=y3,x4=y4

初等变换法
1) 对A和E做同样的初等列变换
2) 只对A做相应的初等行变换
3) A化成对角阵B时，E化成的就是C

f(x)=XTAX，令X=CY,C=P1P2
=YT* P2T *P1T * A * P1 *P2 *Y ,其中
P2TP1T * A * P1P2 = B是标准型(对角型)
         E * P1P2 = E
右乘可逆矩阵相当于列变换，左乘相当于行变换

*解题步骤：
由二次型写出对称矩阵(不对称的对应的加起来除2)
(A上E下)—> 一次列变换，一次行变换 ->(B上A下)

规范型
上边的B最后是可以化成(正数为1，负数为-1的，而且对角线的数顺序能变换)
规范型:(B对角型依次为111 -1 -1 -1 000)对应的二次型，它的秩等于1和-1的总数

(有可能选择填空题)
任何二次型都可以化为规范型,且正负和0个数不变(惯性定理)
正向个数是正惯性指数，付出个数是副惯性指数，符号差是正-负
任意一个矩阵都和对角型(111-1-1-1000)合同
合同的充要条件，它们有相同的秩、正负惯性指数

正交替换
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
正定二次型
正定、负定、半正定、半负定、有定、无定
正定就是一定是正的，f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+x3^2(X≠O)一定大于0
半正定f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+0*x3^2(X≠O) 它≥0
负定、半负定同理，这4种都是有定的
不定的 x1^2-x2^2+x3^2,有时正数，有时负数

f(x)=XTAX (X≠O)，如果没有告诉几个变量f(x1,x2,x3)不好判断
正定 <=> f(x)=都是平方项，且系数都>0

有定性判别
1) 正定二次型经过线性替换仍是正定
f(x)=XTAX正定 <=> 化为标准型的系数都>0
			<=> 正惯性指数为n
			<=> 和E合同
			 => |A|>0
			<=> n个特征值均>0
A正定 <=> 各阶顺序主子式 均>0,即分别取左上角n阶方阵的行列式的值
性质
A正定，则A逆也正定(A-1的特征值是1/λ)
A正定，则A*也正定(A*的特征值是|A|/λ)
A正定，则A^k也正定(特征值是λ^k)
A正定，B半正定，则A+B也正定
A正定 =>A 的主对角线元素全>0,即aii>0(反过来不成立)

考题：判断1标准型系数2特征值3各阶主子式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
线性空间
数域:F中至少2个数，如果加减乘除还在F中，则是封闭的，全体有理数、实数、复数
向量:V是非空集合，它的元素叫向量
线性空间:由向量和数域构成，它定义了一些运算:加法、乘法，则V是F上的线性空间
零空间

基、维数、坐标
基：满足1 n个向量无关 2任何向量都可由它们表示，就是一个极大无关组
维数：有几个向量就叫几维
n维空间中，n个无关向量组都是基
n维空间中，n个向量是基 <=>任意向量均可由这n个向量表示
坐标：用基表示α=k1α1+k2α2+...，则k1,k2...就是坐标，随基变化不唯一
过渡矩阵：(α1,α2,α3)和(β1,β2,β3)都是基，如果(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)Ann，则A是从(α1,α2,α3)到(β1,β2,β3)的过渡矩阵

考题：
判断是否为基，证明线性无关即可
求过渡矩阵 B=AP,求A=B-1P即可
1
2
3
->∞ ∈U°  ≥ ≠ ε Δ δ θ ≈ ≡ ≠ ＝ ≤≥ ＜ ＞ ≮ ≯ ∷ ± ＋ － × ÷ ／ ∫ ∮ ∝ ∞ π μ φ ∂

∧ ∨ ∑ ∏ ∪ ∩ ∈ ∵ ∴ ⊥ ‖ ∠ ⌒ ≌ ∽ √ （） 【】｛｝ Ⅰ Ⅱ ⊕ ⊙∥α β γ δ ε ζ η θ Δ <=>λ Λ ≃