1 函数、极限、连续
集合
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概念：集合、元素、列举法、描述法、N Z Q R、子集、空集、全集Ω、补集CuA、区间、无穷∞、领域U(a,δ)
运算：A∪B、A∩B、A-B、A∩(B∪C)=?、 Cu(A∪B)=?、 Cu（A∩/B)=?
直积A*B={(a,b)|a∈A,b∈B}
函数
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定义：定义域D, f:x->y, 值域Rf
常见函数公式：符号函数sgn、迪里克雷D(x)、幂指对、三角、反三角
性质：周期性、奇偶性、单调性、有界性、反函数、初等函数
数列极限
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概念：无穷数列、极限、
性质：唯一性、单调性、有界性、保号性、子数列

Δ考题：1用定义证明极限 2求极限
任给ε>0,当n>N时，x_n-a<ε都成立。
任务就是找N，一般和ε有关，套路是要使某个不等式成立，最后解得N>[ε]+1

性质
1) 数列收敛，极限唯一
2) 数列收敛，一定有界(充分不必要)
   数列收敛充要条件是单调有界
3) 数列极限为a>0,则存在N，是n>N时都>0
   有极限且n>N时n>0,则a>0
4) 子数列先后次序不变，原数列极限为a，则子数列极限也是a
	只要1个子数列不收敛，则原数列发散
	找2个子数列都收敛，但极限不同，则原数列发散
	奇数偶数子数列都收敛，且极限相同，则原数列收敛
函数极限
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定义：ε-δ语言，如果存在实数A，对于任取ε>0,总存在δ>0使0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε 恒成立，注意>0,极限可以在x0处无定义
左右极限
Δ考题：证明极限不存在：2个思路，左右极限有1个不存在，左右都存在但不等

性质
1) 唯一性
2) 局部有界性
3) 局部保号性
4) 函数有极限a <=> 任意子数列都有极限a
Δ考题：证明极限不存在：2个思路：1个子数列极限不存在，2个极限不相等
*无穷小
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谁是无穷小要注明变化过程
**等价无穷小公式

性质
1) 和差积还是无穷小，相除不确定(无穷大只有乘是无穷大)
2) 无穷小乘有界的数，还是无穷小
(考试经常用，先判断数有界，有界的多数是三角函数)
3) f(x) = a+O(x) <=> f(x)的极限为a
4) 倒数
*极限运算
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和差积商的极限是极限的和差积商
(注意1同一变化 2极限必须存在才能分开)
求极限
5种:多项式、∞/∞、无限项之和、分子有理化、能消掉

夹逼准则、单调有界必有极限、重要极限、等价无穷小
1) 只有2个无穷小之比才能用等价
2) 分子分母是因子的乘积，可以选部分因子替换
Δ考题：求极限-重要极限、等价无穷小、洛必达
连续性
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连续性
1) 在x0处有定义
2) 在x0处有极限
3) 极限等于f(x0)
左右连续、间断点(无穷间断、震荡、跳跃、可去)
第一类左右极限都存在，第二类不存在左右极限
Δ考题：问属于哪一类间断点,复合分段函数是否连续-求左右极限

性质
有界性、最值、
介值性(必存在一点使m<f(x)<M)、
零点存在定理f(a)f(b)<0，则必存在一点使f(x)=0
Δ考题：证明有一个根，全挪到一边构成f(x)，用零点定理
2 导数和微分
*基本函数求导
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导数：在领域内Δy/Δx极限存在
f'(x0),  y'|x=x0,   dy/dx
lim Δx->0,  lim h->0,  lim x->x0
导函数 f'(x)
Δ考题：用导数定义求导数

**求导公式

导数意义：切线方程k=f'(x0)、法线方程k=- 1/f'(x0)
左右导数(相等则可导)
可导意义：光滑曲线
可导必连续，连续不一定可导
*复合函数-求导法则
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求导法则
和差 (u+v)'=u'+v' (必须是有限个相加)
积 (uvq)'=u'vq+v'uq+q'uv 
商 (u/v)'=(u'v-v'u)/v2 (是减号，分子导在前)

反函数 (导数互为倒数 dy/dx * dx/dy = 1)
复函数 y=f(g(x)), y'=f'(u)g'(x) =dy/du*du/dx
隐函数 两边同时对x求导，求出y'
参数方程 y=h(t) x=g(t) 则y'=dy/dx = h'(t)/g'(t)
*复合函数-高阶求导
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求导法则
和差 (u+v)(n)= u(n)+v(n)
积 (uv)(n) = ∑k0n Cnk u^(n-k)v^k,系数cnk =n(n-1)..(n-k+1)/k!
数乘 (ku)(n)=k(u)(n)

复函数高阶导 正常依次求123阶
隐函数二阶导 正常依次求123阶
参数方程二阶导 y''=公式
微分
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Δy= AΔx + O(Δx)精确值,则f(x)可微，dy=AΔx近似值
可微<=>可导，dy=f'(x)dx

d(uv)=vdu+udv
d(u/v)=(vdu-udv)/v2
一阶微分形式不变性(不管u是自变量还是函数，dy=f'(u)du都是这个形式)

微分应用
近似计算 f(x) ≈ f(x0)+f'(x0)Δx
取x0=0,Δx=x,得
n√(1+-x) ≈ 1+-x/n
sinx ≈ x
3 中值定理
*定理
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费马定理：x0处可导，领域内x0取极值点，则f'(x0)=0

罗尔定理：在区间可导且连续，f(a)=f(b)，则存在x0,使f'(x0)=0

拉格朗日中值定理：在区间可导且连续，则存在x0,使
f(b)-f(a)=f'(x0)(b-a)

柯西中值定理：2个函数在区间可导且连续，则存在x0,使f'(x0)/g'(x0) = f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

柯西令g(x)=x可推出拉格，罗尔令F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a) *x可推出拉格，
罗尔是拉格的一种特殊情况，拉格不能推出柯西，2个x0不同
*公式
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泰勒公式：
f(x)有n阶导，f(x)=

麦克劳林公式，令泰勒中x0=0，这部分主要出题麦克劳林

拉格朗日型余项的(泰勒、麦克劳林)

洛必达法则
0/0型或∞/∞,本质一样，∞倒过来就是0
lim f(x)/g(x)=limf'(x)/g'(x)
由柯西证得，求完导如果还是0/0和∞/∞，可以继续求导
对数<幂<指数

考题：1只有2种类型有用 2不要一味求导，结合重要极限+等价无穷小 
3如果求完导的极限不存在，也不是∞，不能说明原来的极限不存在，要改用别的方法(比如求完导是震荡型sinx/1)
4 0*∞=0/0  0^0=e^xlnx  1^∞ ∞^0也能转化成2种类型
导数应用
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1 单调性
f'(x)>0单调增
如果f'(x)≥0,但只在个别点为0，也单调增


讨论单调性，求出2种分界点:f'(x)=0驻点和∞，将定义域分为几个区间，写出表格：区间+ f'(x)正负 + f(x)单调性

2 凸凹性
两点直线在曲线上方叫凹，f((x1+x2)/2)< (f(x1)+f(x2))/2
f''(x) > 0，个别点=0也可能凹
拐点 => f''(x)=0和∞

求解步骤：求定义域，f''(x)=0和不存在的点，讨论区间二阶导是否变号，有的可能不是拐点，写出表格：区间+ f''(x)正负 + f(x)凸凹

3 极最值
领域内，f(x)<f(x0),x0为极大值点
极值点 =>f'(x)=0

可导函数极值点必是驻点，驻点不一定是极值点
导数不存在也可能是极值点
若f(x)连续，在x0的去心领域内可导时，单调性变号的点是极值点

求解步骤：求定义域，f'(x)=0和不存在的点，讨论f'(x)变号

若f(x)二阶可导，f'(x0)=0且f''(x0)>0为极小值，f''(x0)<0为极大值，f''(x0)=0不确定，此时还得用上边

最值：驻点、导数不存在的点、端点，比较大小，最值点不唯一

4 函数作图
渐近线：水平、垂直、斜,求f(x)=ax+b

求解步骤 
x->∞时趋于常数，则有水平渐近线,否则没有
x->x0时趋于∞，则有垂直渐近线
x->∞时，f'(x)趋于常数，则有斜渐近线（或者f(x)/x趋于常数，因此f(x)应该是一次的)

a=limx->∞ f'(x), b=limx->∞ (f(x)-ax)

作图：1定义域、不连续点、坐标轴相交点、
     2奇偶性、周期性、
     3渐近线、
     4f'(x)=0,f''(x)=0,和不存在点，求极值点、单调性和拐点、凹凸性
4 不定积分
*换元积分法
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1/x的积分是ln|x|+C ,可以为负数，注意加C

**常用的积分公式

积分方法
第一类换元法，把dx外的某项拿到d里边，再去凑基本积分公式(凑微分法)
∫2xcosx2 = ∫cosx2 dx2 =sinx2 +C
要点--d里边可随意加减常数
1 记住这几个公式
∫1/(a2+x2) = 1/a arctanx/a +C
∫1/(x2-a2) 1/2a ln|x-a/x+a| +C 利用拆开
tanx -> -ln|cosx| +C
cscx -> ln|tanx/2| +C
2 积化和差、和差化积、倍角公式
3 有关sinx、cosx的外边如果奇数次，把1个拿进去，如果偶数次，用倍角公式

第二类换元法，把dx里换元后拿到d外边（特点是一般带根号，目的是换元后去掉根号）
∫dx/x√(2x-3) 令t=√(2x-3)

∫√(a2-x2)dx，其中a>0 令 x=asint
∫1/√(a2+x2)dx			令x=atant
∫1/√(x2-a2)dx， 令a=asect,分2部分定义域讨论
记住这几个公式
*分部积分法
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∫udv = uv-∫vdu
1 把谁放到d后边，要能积出来，要让积分变简单
∫xsinxdx = -∫xdcosx = -xcosx + ∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

∫lnxdx=xlnx-x+C， 记住这个公式
2 有时候要用多次分部积分
3 分部积分中，要求的，又出现了，系数是非1的数都正常求出来，如果系数是1，可能计算失误

4 优先级，有ex、sinx、xn、lnx、arctanx尽量优先把它们拿到d后边去
其实这里怎么判断哪个简单，uv是不用管的，只需要知道后边∫vdu是否简单
*有理函数积分
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P(x)/Q(x) 分子分母都是多项式
分子次数高，用多项式除法，得商和余数
分子分母次数相同，可以直接配项拆分
分子次数低，上边2种都会化成这种真分式

第一类 ∫1/(ax2+bx+c)dx
b2-4ac=0,则可以化成 1/a(x-x1)2
b2-4ac>0,则可以化成1/a(x-x1)(x-x2) 拆开，待定系数法求A、B
b2-4ac<0,则可以化成k/(t2+1),用tanx原函数求出

第二类 ∫(dx+e)/(ax2+bx+c)dx
通过配项拆分，可以化成第一类
∫(x+1)/(x2-2x+3) dx = 1/2∫1/(x2-2x+3) d(x2-2x+3) +∫2/(x2-2x+3) dx

第三类 分母高于2次
如(x2+1)/(x+2)(x+1)^2
  1/(1+2x)(1+x2)
当分母次数比2次高，不再关心分子

分母可以配成2类形式，一种是一次的，对应的分子都假设为常数，一种是二次的，对应的分子都假设为一次式
如(ax+b)/(x+1)^3(x2+2x+3)^2,则假设它等于
A/(x+1)^3 +B/(x+1)^2 +C/(x+1) +(Dx+E)/(x2+2x+3)^2 +(Fx+G)/(x2+2x+3)
通分，用待定系数法求出这些ABCD，那么就可以用上边的方法求积分

求x3/(x+1)^4,换元化成头大脚小的，令t=x+1,比用第三类简单

考试主要3类题：第一类分子为1的，第二类分子为一次的，第三类分母高于2次的，最终是拆成第一二类

*三角函数积分
1
2
用万能代换t=tan(x/2)化成上边有理式,有时t=sinx、cosx、tanx更简单
倒代换x=1//t
5 定积分
常用性质
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定积分定义
是一个数，只和函数、区间有关，和变量是什么无关
定1：连续则可积
定2：有界且有有限个间断点，则可积

用定义求∫01 x2，等分为1/n

近似计算(一般10等分计算量就很大了，理解即可)
矩形法 面积=(b-a)/n *(y1+y2+...yn)
梯形法 面积=(b-a)/n *[(y0+y1)/2 +(y1+y2)/2+...+]
抛物线法

性质
b=a时，∫ab f(x)dx=0
∫ab f(x)dx = - ∫ba f(x)dx
∫ab [kf(x)+mg(x)]dx = k∫ab f(x)dx + m∫ab g(x)dx
重要 ∫ab f(x)dx = ∫ac f(x)dx +∫cb f(x)dx
f(x)≡1时,∫ab f(x)dx= b-a
f(x)≥0时,∫ab f(x)dx≥ 0
f(x)≥g(x)时,∫ab f(x)dx≥ ∫ab g(x)dx
∫ab |f(x)|dx ≥ |∫ab f(x)dx|
M≥ f(x)≥ m时，M(b-a)≥ ∫ab f(x)dx≥ m(b-a)
定积分中值定理，f(x)连续，存在ζε[a,b]使∫ab f(x)dx = f(ζ)(b-a),其中f(ζ)是平均值，它介于m和M之间
积分上限函数
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P(x)=∫ax f(t)dt,其中P'(x) = f(x)
上限是x函数，求导就是把x代入被积函数
下限是x函数，求导就是把x代入并加负号
上限是g(x)如x2的函数，导数是把g(x)如u=x2代入被积函数，再乘g'(x)
下限是h(x)的
上下限分别是g(x),h(x), ∫g(x)h(x) f(t)dt 对x的导数是 f(gx)g'(x)-f(hx)h'(x)

考题(一般是综合应用)
例题limx->0  ∫0x∫0u2 arctan(1+t)dtdu/x2 = limx->0  ∫0x2 arctan(1+t)dt/2x = 

牛顿-莱布尼茨公式(多考变限函数)
∫ab f(x)dx = F(x)|ab = F(b)-F(a)
换元积分和分部积分
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换元积分法
令x=φ(t),
1 引入的函数要单调(增减都可以) 2它要有连续导数(一般都会满足) 3上下限对应改变(换元时上下限也跟着换)
求解和定积分一样，只是要改变上下限区间

例题(常用到) ∫0a √(a2-x2)dx=1/4 *∏a2
例题 f(x)是偶函数，∫-aa f(x)dx =2∫0a f(x)dx
    f(x)是奇函数 ∫-aa f(x)dx =0   
求定积分，先用奇偶数消去一部分
换元时，不管单调增减，必须下限对下限，上限对上限
例题 证明∫0∏/2 sin^n xdx = ∫0∏/2 cos^n xdx  令x=∏/2-t
*例题 已知∫0x tf(x-t)dt = 1-cosx,求∫0∏/2 f(x)dx,答案是sin∏/2=1,使用了变限函数求导

分部积分法
不定积分公式直接代入即可
记住这个公式∫lnxdx =xlnx-x+C
积分应用
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求面积(考研一定会考)
关于x轴的，上边-下边，关于y轴的，右边-左边

解题步骤：1画图 2判断X、Y型 3X型：尺子垂直x轴，从左到右移动，看谁是上下，多个函数要分区间
4Y型：尺子从下到上移动，用右边减左边，要把y=f(x)改成x=g(y)

求体积
V = ∫ab S(x)dx ,求出横截面关于x的函数，求积分
旋转体
f(x)关于x轴旋转,S(x)=∏f(x)2,  V=∫ab S(x)dx
f(x)关于y轴旋转，要写成x=g(y), S(y)=∏g(y)2 ,V = V=∫ab S(y)dy
2个函数的旋转体

经济问题
1导函数求原函数-年产量增长率问题 2贴现值-年利率问题P0 = p(t)e-rt(贴现公式)  3收益问题-离散型、连续型、固定型，等比数列求和公式a1*(1-qn)/1-q

6广义积分
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1 无穷积分
求出积分后，把上下限代进去求极限
上限limb->+∞ 求极限，下限lima->-∞, 上下限都无穷，分成2部分

记住这个结论 ∫1 +∞ 1/xp dx,当p>1时，是1/(p-1),当p≤1时，是发散的

性质
∫a +∞对于f(x), g(x)都收敛，则f(x)+g(x)也收敛，且等于极值的和
无穷积分也可以用换元积分、分部积分求

收敛判断
f(x)≥0时，∫a +∞ f(x)dx收敛的充要条件是原函数P(x)有界(注意前提是f(X)≥0)
重要，比较法：f(x)≥g(x)≥0 大于发散也发散，小于收敛也收敛，(前提也是≥0,如果没有他可以趋于-∞)

绝对收敛
∫a +∞ f(x)dx收敛，∫a +∞ f|(x)|dx也收敛，则是绝对收敛，如果绝对值的发散，则是条件收敛
绝对收敛必收敛

2 瑕积分
求出积分后，把上下限代进去求极限
上限limb->x0 求极限，下限lima->x0, 上下限都无穷，分成2部分
因为上下限确定，它的符号和普通积分一样，考试时要注意区分，如求∫01 lnxdx = lima->0+ ∫a1 lnxdx

记住这个结论 ∫01 1/xp dx,当0<p<1时，是1/(1-p),当p≥1时，是发散的

gama函数(常见出题点) γ(r) =∫0+∞ x^(r-1)*e^(-x)dx,(r>0),它具有性质γ(r+1) =rγ(r),当n是正整数时γ(n+1)=n!
7 多元微分
二元极限
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二维的δ领域、内点、边界点、二维的开集、闭集
二元函数z=f(x,y),考点是求定义域，几何意义是曲面

求二元极限(以任何方向向点逼近的极限存在且相等)
考题1--证明极限不存在
找2种逼近方式极限不同，如沿y=0,y=x
考题2--求二元极限
limx->0 y->0 xy2/x2+y2 ，x乘有界，趋于0
limx->∞ y->∞ x+y/x2+y2 , 夹逼定理 0≤ lim≤|x|+|y|/x2+y2≤ |x|+|y|/|2xy|趋于0
去根号有理化，遇见sinx，用等价无穷小或者有界

二元连续性(有定义、有极限、定义=极限)
偏导数
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偏导数
对x偏导时，y保持不变，f'x(x0,y0)  ∂f(x0,y0)/∂x  ∂z/∂x|x=x0 y=y0  Z'x|x=x0 x=y0
对x偏导数，只需要把y当作常数，求导即可，f'x
求某点的偏导2种：1用定义 2先求偏导数，再分别代入对x，对y的偏导数

对多元，在P0点有偏导不一定连续，偏导只能证明4个方向连续，必须所有方向都有偏导
几何意义：对x偏导，是保持y不变的截曲线，在点P处的切线斜率

高阶偏导
∂(∂z/∂x)/∂x =∂2z/∂x2 =z''xx=f''xx(x,y) 
二阶混合偏导，z''xy和z''yx值相等(条件是连续的)
全微分
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全增量Δz = f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) =xΔy +yΔx +ΔxΔy = AΔx +BΔy +o(r) 精确值
ΔxΔy 是较r=√Δx2+Δy2的高阶无穷小
A B是x,y的函数，与Δx、Δy无关，则称为可微，dz=AΔx +BΔy是全微分,近似值

可微的必要条件：z=f(x,y)可微，则偏导存在，且dz=f'xΔx +f'yΔy
偏导存在不是可微的充分条件
可微的充要条件是:z=f(x,y)有连续偏导数
一元：可微 <=> 可导 ->连续
多元：可微 ->偏导，可微 ->连续， 连续偏导 <=>可微

dz= f'xdx +f'ydy
考题-求全微分
近似计算 f(x+Δx,y+Δy) =f(x,y) + dz
多元复合函数求导
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z=f(u,v), u=g(x,y), v=h(x,y)
∂z/∂x = ∂z/∂u *∂u/∂x + ∂z/∂v *∂v/∂x
解题时先画路线图
特例-1 z=f(u,v), u=g(x), v=h(x) 当只和一个变量有关时，用求导符号
	dz/dx = ∂z/∂u *du/dx + ∂z/∂v *dv/dx
	注意：何时求偏导、何时求导
	2 z=f(x,y),y=g(x) dz/dx = ∂z/∂x + ∂z/∂y *dy/dx

例题 z=f(xy,x2+y2),求∂2z/∂x2
	设z=f(u,v) f'u和f'v仍是用x,y表示的函数
	(因为求f'u时把v当成常数，f'u除非常数，否则肯定包含u或v，比如z=u+v,得到f'u =1，z=uv,得到f'u=v，z=u2+v得到f'u=2u )
	∂z/∂x = f'u∂u/∂x +f'v∂v/∂x,一般可解出一部分，比如化成2f'u+3f'v,由于f'u可能包含u和v
	∂2z/∂x2 = 2(f''uu∂u/∂x+f''uv∂v/∂x)+3(f''vv∂v/∂x+f''vu∂u/∂x) =2*2f''uu+3*3f''vv +(2+3)f''uv
隐函数求导
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1 F(x,y) = 0 右边要为0,对y的偏导不能为0
  dy/dx = -(∂F/∂x) /(∂F/∂y) = - F'x/F'y，由F(x,f(x))=0左右求x的导数可得
2 直接做也可以，如xy+y=0,得y+xy'+y'=0,解出y'=-y/(x+1)到这里包含x,y就可以了

三元的F(x,y,z)=0
1 ∂z/∂x = -F'x/F'z, ∂z/∂y = -F'y/F'z
2 直接做，求∂z/∂x，把y当成常数，解出Z'x，建议用上边方法

方程组式
f(x,y,u,v)=0和g(x,y,u,v)=0,左右同时对x求偏导，可解出∂u/∂x和∂v/∂x
微分应用
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极最值
必要条件：若z=f(x,y)在(x0,y0)存在偏导且取极值，则偏导f'x(x0,y0)、f'y(x0,y0)都为0
充分条件：
z=f(x,y)在(x0,y0)有一阶、二阶连续偏导数时
A=f''xx(x0,y0)  B=f''xy(x0,y0)  C=f''yy(x0,y0)
1若B2-AC<0，A<0时取极大值，A>0时取极小值
2若B2-AC>0，不是极值点
3若B2-AC=0，无法判断
解法---求f'x=0和f'y=0,得到驻点，再根据上边判断（利用的必要条件求得驻点）

最值
可能出现在1极值点 2偏导不存在点 3边界点
实际只考察出现在极值点
例题：长方体V=8,怎么用料最省S=2(xy+yz+xz)

条件极值
没有额外条件的是无条件极值，有其他约束的叫条件极值，如z=√1-x2-y2,要求x+y=1
将条件的转为无条件的
拉格朗日乘数法，求z=f(x,y)在条件g(x,y)=0下的极值
令L(x,y,λ) =f(x,y)+λg(x,y),分别求f'x=f'y=f'λ=0,其中f'λ其实就是g(x,y)
可以推广到多个条件
解法---构造L函数，分别求偏导为0，解出x,y

例题：点(x0,y0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最小值，d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√A2+B2+C2
	 点  到直线是d=|Ax0+By0+C|/√A2+B2
8 二元积分
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z=f(x,y) ,limΔd->0 ∑i=1 n f(xi,yi)Δsi,不用Δs，而用Δd，是为了让它趋于点
它的极限V存在=∫∫D f(x,y)dρ = ∫∫D f(x,y)dxdy直角坐标 = ∫∫D f(rcosθ,rsinθ)rdρdθ极坐标(多一个r)

几何意义：z=f(x,y)和XOY平面之间的柱体的体积，可以为负

性质
1 k倍
2 函数和的积，等于积的和
3 D =D1 +D2 分成子区域积分
4 f(x)≤g(x)，二重积也小于
5 二重积的绝对值 ≤ 绝对值的二重积
6 f(x,y) ≡1,体积等于底面积V= ∫∫D f(x,y)dρ = ρ
7 m <f(x,y)<M,则mρ <V <Mρ
8 中值定理，可以找到一点使 V =f(x0,y0)ρ
以上定义基本不怎么考

二元积分的计算
1 直角坐标系
V = ∫ab A(x)dx, A(x)是横截面，
A(x)=∫cd f(x,y)dx, 这里x当成常数，cd是y的上下限，和x有关

X型：∫∫D f(x,y)dxdy = ∫ab dx ∫φ(x1)φ(x2) f(x,y)dy
解法：画出xoy投影图形D，
X型:可以直接获取x上下限，然后固定x，获取此时y的取值，让上边的做上限，
Y型，让右边的做上限
考题-交换积分次序

特殊 1 D为矩形，V=∫ab dx ∫cd f(x,y)dx
	2 不仅矩形，f(x,y)还能拆成f(x)f(y),V=∫ab dx ∫cd f(x)f(y)dx
选择X、Y型，有的可能复杂，有的可能解不出

2 极坐标系
极点、极轴、极角θε[0,2∏)、极径r≥0
有些D用坐标轴不好表示，如圆环
解题--先判断极角θ区间，再做射线，判断极径r区间(一般和θ有关，即r怎么用θ表示)

直角和极坐标转换，x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy = rdrdθ代入
扇形区域面积1/2*r2*θ，用定义求证积分
V=∫∫D f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ,区域一般是a<θ<b,rsinθ<r<rcosθ这类形式
3类D
1 极点在区域外，a<θ<b,r1(θ)<r<r2(θ),这2个r(θ)是关于θ的曲线
2 极点在区域边上，a<θ<b,0<r<r(θ)
3 极点在区域内，a<θ<2∏,0<r<r(θ)
V=∫∫D f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ = ∫ab dθ ∫r1(θ)r2(θ) rdr(都是后积θ)
记住一个公式∫0 +∞ e^(-x2)dx=(√∏)/2,  ∫-∞ +∞ e^(-x2)dx=√∏

何时用极坐标简便，1圆域或一部分 2带x2+y2 =r2 3带y/x =tanθ (主要前2种)
考题3种：交换积分次序、直角坐标积分，极坐标积分
9 微分方程
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含有导数或微分的方程，分2类
一元函数叫常微分方程，需要求导，只考察这一类
多元函数叫偏微分方程，需求偏导
导数的最高阶数就是几阶微分方程y''+y=0
通解：独立常数C的个数等于方程阶数，特解：通解中的常数都是确定的数
一阶微分方程
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1 可分离变量
M(x)dx=N(y)dy,两边求积分，加上C即可
例题 ∫1/y dy =∫2xdx +C, 得ln|y| = x2+C ,这里可以省去||，正负可以包含到C里
最终目的是写出y=多少，可以用隐函数表示

2 齐次方程
dy/dx = f(y/x)， y/x都是整体出现的
令u= y/x,得y=xu, 得dy/dx=u+xdu/dx =f(u) 可以变成第一类

3 一阶线性方程(写出标准格式代公式即可)
齐次   y'+p(x)y=0
dy/dx = -p(x)y， 得dy/y = -p(x)dx，求积分得
y = e^(-p(x)dx)*e^c = Ce^(-p(x)dx)

非齐次 y'+p(x)y=q(x),
y=记住公式

特殊的，x和y互换,取倒数
dy/dx = y/(x-y3),得dx/dy =x/y -y2,得 x'+(-1/y)x=-y2

4 别努力方程(一般不会考)
y'+p(x)y=q(x)y^a
左右除y^a,  令z=y^(1-a),  化简后是关于z和x的一阶非齐次，
用上边公式解出z=，再表示出y=
例题y'+y/x=lnx *y2

注意2点：∫1/y dy = lny+C 不用加绝对值
		隐函数表示即可
高阶微分方程
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1 可降阶的
y(n) = f(x) 不断求积分即可，注意加C

2 y(n)=f(x,y(n-1)) 可以化成1阶，递推式的
令u'=y(n)，u=y(n-1),代入u'=f(x,u)解出u=y(n-1)=，再继续

3 y''=f(y,y')	没有x的
令u = y',代入
y'' = du/dx = du/dy *dy/dx  =du/dy *y'代入
du/dy *y' = f(y,y')，即du/dy *u =f(y,u)
求出u，再积分得y
二阶常系数线性微分方程
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齐次的 y''+py'+qy=0,其中p,q是常数
特征方程r2+pr+q=0
p2-4q>0,有2个根，r12 = ，通解是y=
p2-4q=0,有1个根，r= ,通解是y=
p2-4q<0,有2个虚根, r12, 通解是y=
记住公式，写出特征方程、特征根、再写通解即可

非齐次的 y''+py'+qy=f(x)
通解是齐次的通解+一个特解
差分方程
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差分方程
实际问题中，很多是离散函数，y=f(t),t=1,2,3,4
后一个周期和前一个周期的差叫一阶差分
Δyt= f(t+1)-f(t)
差分的差分叫二阶差分
Δ2yt = Δyt+1 - Δyt
含差分的叫差分方程

一阶常系数线性差分方程(线性就是ax+by这种)
齐次的  yt+1+ayt=0 通解是yt= c(-a)^t
非齐次的 yt+1+ayt=g(t)
通解是齐次通解+非齐次特解

情形1 g(t)=b常数时，当a=-1时，特解y*=b^t
			   当a不等于-1时，特解 y*=b/(a+1)
   
弧微分、曲率、方程解-b+-√1-4ac/a2 等差公式、三角公式
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->∞ ∈U°  ≥ ≠ ε Δ δ θ ≈ ≡ ≠ ＝ ≤≥ ＜ ＞ ≮ ≯ ∷ ± ＋ － × ÷ ／ ∫ ∮ ∝ ∞ π μ φ ∂

∧ ∨ ∑ ∏ ∪ ∩ ∈ ∵ ∴ ⊥ ‖ ∠ ⌒ ≌ ∽ √ （） 【】｛｝ Ⅰ Ⅱ ⊕ ⊙∥α β γ δ ε ζ η θ Δ <=>λ Λ ≃